Equazioni equivalenti e princìpi di equivalenza
Quando due equazioni sono equivalenti?
Due o più equazioni sono equivalenti quando hanno le stesse soluzioni.
Esempio
Le equazioni:
2x = 12
e
2x − 5 = x + 1
hanno come soluzione x = 6
12 = 12
12 − 5 = 6 + 1
le due equazioni sono equivalenti
Che cosa afferma il 1° principio di equivalenza?
Addizionando o sottraendo al primo e al secondo membro di un’equazione uno stesso
numero o una stessa espressione letterale si ottiene un’equazione equivalente a
quella data.
Esempio
L’equazione 2x + 3 = 3x
ha come soluzione x = 3
2x + 3 − 8 = 3x − 8
per x = 3 si ha:
6 + 3 − 8 = 9 − 8
1 = 1
Sottraendo 5x a entrambi i membri si ha:
2x + 3 − 5x = 3x − 5x
per x = 3 si ha:
6 + 3 − 15 = 9 − 15
− 6 = − 6
In che cosa consiste la regola del trasporto? E la regola della soppressione dei termini uguali?
- Regola del trasporto: in un’equazione è possibile trasportare un termine da un membro all’altro purché lo si cambi di segno.
- Soppressione dei termini uguali: in un’equazione se in entrambi i membri figurano termini uguali questi possono essere eliminati.
Esempio
Data l’equazione
− 6 + x = 4 + 2x
+ x − 2x = + 6 + 4
Data l’equazione
2x − 5 + 4x = 2x + 5
Che cosa afferma il 2° principio di equivalenza?
Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un’equazione per uno stesso numero,
diverso da zero, si ottiene un’equazione equivalente a quella data.
Esempio
L’equazione 2x − 1 = 3x − 4
ha come soluzione x = 3
6 − 1 = 9 − 4
5 = 5
− 2(2x − 1) = − 2(3x − 4)
− 4x + 2 = − 6x + 8
− 12 + 2 = − 18 + 8
− 10 = − 10
In che cosa consiste la regola di cambiamento dei segni?
Cambiamento dei segni: cambiando il segno a ciascun termine di un’equazione si ottiene un’equazione equivalente a quella data.
Esempio
L’equazione − 3x + 2 = 5 − 2x
ha come soluzione x = − 3
Cambiando i segni
3x − 2 = − 5 + 2x
3x − 2 = − 5 + 2x
− 9 − 2 = − 5 − 6
− 11 = − 11
